Ratkaise 7x^2-2x-3=0

$$7 x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}\approx 0,812916537$$

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}\approx -0,527202251$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+84}}{2\times 7}$$

Lisää 4 lukuun 84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{88}}{2\times 7}$$

Ota luvun 88 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+2}{14}$$

Jaa 2+2\sqrt{22} luvulla 14.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{22} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{22}}{14}$$

Jaa 2-2\sqrt{22} luvulla 14.

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$7x^{2}-2x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-2x}{7}=\frac{3}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}$$

Jaa -\frac{2}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{7}. Lisää sitten -\frac{1}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{3}{7}+\frac{1}{49}$$

Lisää \frac{3}{7} lukuun \frac{1}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{22}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{22}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{22}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{22}}{7}$$

Lisää \frac{1}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$