Ratkaise 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 7x^{2}+ax+bx-9. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -18.

$$a=-21 b=3$$

Kirjoita \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right) uudelleen muodossa 7x^{2}-18x-9.

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Jaa 7x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-3=0 ja 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -18 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Korota -18 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Lisää 324 lukuun 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Ota luvun 576 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Luvun -18 vastaluku on 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±24}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 18 lukuun 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Jaa 42 luvulla 14.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±24}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24 luvusta 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{14} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Jaa -\frac{18}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{7}. Lisää sitten -\frac{9}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Lisää \frac{9}{7} lukuun \frac{81}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Lisää \frac{9}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$