Ratkaise 7x^2-14x+1/4=0

$$7 x ^ { 2 } - 14 x + \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 1,981980506$$

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 0,018019494$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -14 ja c luvulla \frac{1}{4} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-28\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-7}}{2\times 7}$$

Lisää 196 lukuun -7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{189}}{2\times 7}$$

Ota luvun 189 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+14}{14}$$

Jaa 14+3\sqrt{21} luvulla 14.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{21} luvusta 14.

$$x=\frac{14-3\sqrt{21}}{14}$$

Jaa 14-3\sqrt{21} luvulla 14.

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Kun luku \frac{1}{4} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-14x=-\frac{1}{4}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-14x}{7}=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{7}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Jaa -14 luvulla 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Jaa -\frac{1}{4} luvulla 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{28}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{28}+1$$

Lisää -\frac{1}{28} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{27}{28}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{27}{28}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{28}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{3\sqrt{21}}{14} x-1=-\frac{3\sqrt{21}}{14}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$