Ratkaise 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0,857142857+0,638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0,857142857-0,638876565i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -12 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

Lisää 144 lukuun -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

Ota luvun -80 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

Jaa 12+4i\sqrt{5} luvulla 14.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{5} luvusta 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

Jaa 12-4i\sqrt{5} luvulla 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-12x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

Jaa -\frac{12}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{6}{7}. Lisää sitten -\frac{6}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{6}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

Lisää -\frac{8}{7} lukuun \frac{36}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Lisää \frac{6}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$