Ratkaise 7x^2-10x-1000=0

$$7 x ^ { 2 } - 10 x - 1000 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{281} + 5}{7} \approx 12,687896153$$

$$x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}\approx -11,259324724$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-10x-1000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -10 ja c luvulla -1000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 7\left(-1000\right)}}{2\times 7}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 7\left(-1000\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-28\left(-1000\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -1000.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+28000}}{2\times 7}$$

Lisää 100 lukuun 28000.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{28100}}{2\times 7}$$

Ota luvun 28100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±10\sqrt{281}}{2\times 7}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±10\sqrt{281}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{10±10\sqrt{281}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±10\sqrt{281}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 10\sqrt{281}.

$$x=\frac{10\sqrt{281}+10}{14}$$

Jaa 10+10\sqrt{281} luvulla 14.

$$x=\frac{5\sqrt{281}+5}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±10\sqrt{281}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{281} luvusta 10.

$$x=\frac{10-10\sqrt{281}}{14}$$

Jaa 10-10\sqrt{281} luvulla 14.

$$x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{281}+5}{7} x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-10x-1000=0$$

Lisää 1000 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7x^{2}-10x-1000-\left(-1000\right)=-\left(-1000\right)$$

Kun luku -1000 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-10x=-\left(-1000\right)$$

Vähennä -1000 luvusta 0.

$$7x^{2}-10x=1000$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-10x}{7}=\frac{1000}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x=\frac{1000}{7}$$

Jaa -\frac{10}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{7}. Lisää sitten -\frac{5}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1000}{7}+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1000}{7}+\frac{25}{49}$$

Lisää \frac{1000}{7} lukuun \frac{25}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7025}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7025}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7025}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{7}=\frac{5\sqrt{281}}{7} x-\frac{5}{7}=-\frac{5\sqrt{281}}{7}$$

Lisää \frac{5}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{281}+5}{7} x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}$$