Ratkaise 7x^2+5x+5=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0,357142857+0,765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,765986092i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 5 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Lisää 25 lukuun -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Ota luvun -115 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{115} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Jaa \frac{5}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{14}. Lisää sitten \frac{5}{14}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{14} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

Lisää -\frac{5}{7} lukuun \frac{25}{196} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

Vähennä \frac{5}{14} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$