Ratkaise 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 4 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Lisää 16 lukuun -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Ota luvun -12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Jaa -4+2i\sqrt{3} luvulla 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{3} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Jaa -4-2i\sqrt{3} luvulla 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Jaa \frac{4}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{7}. Lisää sitten \frac{2}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Lisää -\frac{1}{7} lukuun \frac{4}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Vähennä \frac{2}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$