Ratkaise 7n^2+10n-130=0

$$7 n ^ { 2 } + 10 n - 130 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = \frac{\sqrt{935} - 5}{7} \approx 3,6539671$$

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}\approx -5,082538529$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 10 ja c luvulla -130 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Korota 10 neliöön.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-28\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -130.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+3640}}{2\times 7}$$

Lisää 100 lukuun 3640.

$$n=\frac{-10±\sqrt{3740}}{2\times 7}$$

Ota luvun 3740 neliöjuuri.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 2\sqrt{935}.

$$n=\frac{2\sqrt{935}-10}{14}$$

Jaa -10+2\sqrt{935} luvulla 14.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{935} luvusta -10.

$$n=\frac{-2\sqrt{935}-10}{14}$$

Jaa -10-2\sqrt{935} luvulla 14.

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Lisää 130 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7n^{2}+10n-130-\left(-130\right)=-\left(-130\right)$$

Kun luku -130 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7n^{2}+10n=-\left(-130\right)$$

Vähennä -130 luvusta 0.

$$7n^{2}+10n=130$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7n^{2}+10n}{7}=\frac{130}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n=\frac{130}{7}$$

Jaa \frac{10}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{7}. Lisää sitten \frac{5}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{130}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{130}{7}+\frac{25}{49}$$

Lisää \frac{130}{7} lukuun \frac{25}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{935}{49}$$

Jaa n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{935}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{935}{49}}$$

Sievennä.

$$n+\frac{5}{7}=\frac{\sqrt{935}}{7} n+\frac{5}{7}=-\frac{\sqrt{935}}{7}$$

Vähennä \frac{5}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$