Ratkaise 7k^2+18k-27=0

$$7 k ^ { 2 } + 18 k - 27 = 0$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k = \frac{3 \sqrt{30} - 9}{7} \approx 1,061668104$$

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}\approx -3,633096675$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 18 ja c luvulla -27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Korota 18 neliöön.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -27.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324+756}}{2\times 7}$$

Lisää 324 lukuun 756.

$$k=\frac{-18±\sqrt{1080}}{2\times 7}$$

Ota luvun 1080 neliöjuuri.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 6\sqrt{30}.

$$k=\frac{6\sqrt{30}-18}{14}$$

Jaa -18+6\sqrt{30} luvulla 14.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{30} luvusta -18.

$$k=\frac{-6\sqrt{30}-18}{14}$$

Jaa -18-6\sqrt{30} luvulla 14.

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Lisää 27 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7k^{2}+18k-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Kun luku -27 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7k^{2}+18k=-\left(-27\right)$$

Vähennä -27 luvusta 0.

$$7k^{2}+18k=27$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7k^{2}+18k}{7}=\frac{27}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k=\frac{27}{7}$$

Jaa \frac{18}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{7}. Lisää sitten \frac{9}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{27}{7}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{27}{7}+\frac{81}{49}$$

Lisää \frac{27}{7} lukuun \frac{81}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{270}{49}$$

Jaa k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{270}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{270}{49}}$$

Sievennä.

$$k+\frac{9}{7}=\frac{3\sqrt{30}}{7} k+\frac{9}{7}=-\frac{3\sqrt{30}}{7}$$

Vähennä \frac{9}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$