Ratkaise 7f^2+7f-9=0

$$7 f ^ { 2 } + 7 f - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan f suhteen

$$f=\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2}\approx 0,739239398$$

$$f=-\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2}\approx -1,739239398$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7f^{2}+7f-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 7 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Korota 7 neliöön.

$$f=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$f=\frac{-7±\sqrt{49-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -9.

$$f=\frac{-7±\sqrt{49+252}}{2\times 7}$$

Lisää 49 lukuun 252.

$$f=\frac{-7±\sqrt{301}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$f=\frac{-7±\sqrt{301}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{-7±\sqrt{301}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{301}.

$$f=\frac{\sqrt{301}-7}{14}$$

Jaa -7+\sqrt{301} luvulla 14.

$$f=\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{-7±\sqrt{301}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{301} luvusta -7.

$$f=\frac{-\sqrt{301}-7}{14}$$

Jaa -7-\sqrt{301} luvulla 14.

$$f=-\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$f=\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2} f=-\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7f^{2}+7f-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7f^{2}+7f-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7f^{2}+7f=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$7f^{2}+7f=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7f^{2}+7f}{7}=\frac{9}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$f^{2}+\frac{7}{7}f=\frac{9}{7}$$

Jaa 7 luvulla 7.

$$f^{2}+f=\frac{9}{7}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$f^{2}+f+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=\frac{9}{7}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{9}{7} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=\frac{43}{28}$$

Jaa f^{2}+f+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{43}{28}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{28}}$$

Sievennä.

$$f+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{301}}{14} f+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{301}}{14}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$f=\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2} f=-\frac{\sqrt{301}}{14}-\frac{1}{2}$$