Ratkaise 7x^2+8x=20

$$7 x ^ { 2 } + 8 x = 20$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{39} - 4}{7} \approx 1,212856571$$

$$x=\frac{-2\sqrt{39}-4}{7}\approx -2,355713714$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}+8x=20$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+8x-20=20-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}+8x-20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 8 ja c luvulla -20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-28\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -20.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+560}}{2\times 7}$$

Lisää 64 lukuun 560.

$$x=\frac{-8±\sqrt{624}}{2\times 7}$$

Ota luvun 624 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{39}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{39}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{39}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 4\sqrt{39}.

$$x=\frac{4\sqrt{39}-8}{14}$$

Jaa -8+4\sqrt{39} luvulla 14.

$$x=\frac{2\sqrt{39}-4}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{39}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{39} luvusta -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{39}-8}{14}$$

Jaa -8-4\sqrt{39} luvulla 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}-4}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{39}-4}{7} x=\frac{-2\sqrt{39}-4}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+8x=20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}+8x}{7}=\frac{20}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x=\frac{20}{7}$$

Jaa \frac{8}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{7}. Lisää sitten \frac{4}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\left(\frac{4}{7}\right)^{2}=\frac{20}{7}+\left(\frac{4}{7}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}=\frac{20}{7}+\frac{16}{49}$$

Lisää \frac{20}{7} lukuun \frac{16}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}=\frac{156}{49}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{7}\right)^{2}=\frac{156}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{156}{49}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{7}=\frac{2\sqrt{39}}{7} x+\frac{4}{7}=-\frac{2\sqrt{39}}{7}$$

Vähennä \frac{4}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{39}-4}{7} x=\frac{-2\sqrt{39}-4}{7}$$