Ratkaise 7x^2-6x-144=0

$$7 { x }^{ 2 } -6x-144=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{113} + 3}{7} \approx 4,984348205$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{113}}{7}\approx -4,127205348$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-6x-144=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -6 ja c luvulla -144 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 7\left(-144\right)}}{2\times 7}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 7\left(-144\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-28\left(-144\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -144.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4032}}{2\times 7}$$

Lisää 36 lukuun 4032.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{4068}}{2\times 7}$$

Ota luvun 4068 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{113}}{2\times 7}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±6\sqrt{113}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{6±6\sqrt{113}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±6\sqrt{113}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 6\sqrt{113}.

$$x=\frac{6\sqrt{113}+6}{14}$$

Jaa 6+6\sqrt{113} luvulla 14.

$$x=\frac{3\sqrt{113}+3}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±6\sqrt{113}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{113} luvusta 6.

$$x=\frac{6-6\sqrt{113}}{14}$$

Jaa 6-6\sqrt{113} luvulla 14.

$$x=\frac{3-3\sqrt{113}}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{113}+3}{7} x=\frac{3-3\sqrt{113}}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-6x-144=0$$

Lisää 144 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7x^{2}-6x-144-\left(-144\right)=-\left(-144\right)$$

Kun luku -144 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-6x=-\left(-144\right)$$

Vähennä -144 luvusta 0.

$$7x^{2}-6x=144$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-6x}{7}=\frac{144}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x=\frac{144}{7}$$

Jaa -\frac{6}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{7}. Lisää sitten -\frac{3}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{144}{7}+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=\frac{144}{7}+\frac{9}{49}$$

Lisää \frac{144}{7} lukuun \frac{9}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=\frac{1017}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{1017}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1017}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{7}=\frac{3\sqrt{113}}{7} x-\frac{3}{7}=-\frac{3\sqrt{113}}{7}$$

Lisää \frac{3}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{113}+3}{7} x=\frac{3-3\sqrt{113}}{7}$$