Ratkaise 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1,086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0,657611115$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -3 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Lisää 9 lukuun 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{149} luvusta 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Jaa -\frac{3}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{14}. Lisää sitten -\frac{3}{14}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{14} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Lisää \frac{5}{7} lukuun \frac{9}{196} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Lisää \frac{3}{14} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$