Ratkaise 7x^2+2=30x-10

$$7 { x }^{ 2 } +2=30x-10$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{141} + 15}{7} \approx 3,839191727$$

$$x=\frac{15-\sqrt{141}}{7}\approx 0,446522559$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 30x molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+2-30x=-10$$

Lisää 10 molemmille puolille.

$$7x^{2}+2-30x+10=0$$

Selvitä 12 laskemalla yhteen 2 ja 10.

$$7x^{2}+12-30x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-30x+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -30 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Korota -30 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-28\times 12}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-336}}{2\times 7}$$

Lisää 900 lukuun -336.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{564}}{2\times 7}$$

Ota luvun 564 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±2\sqrt{141}}{2\times 7}$$

Luvun -30 vastaluku on 30.

$$x=\frac{30±2\sqrt{141}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{30±2\sqrt{141}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±2\sqrt{141}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 30 lukuun 2\sqrt{141}.

$$x=\frac{2\sqrt{141}+30}{14}$$

Jaa 30+2\sqrt{141} luvulla 14.

$$x=\frac{\sqrt{141}+15}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±2\sqrt{141}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{141} luvusta 30.

$$x=\frac{30-2\sqrt{141}}{14}$$

Jaa 30-2\sqrt{141} luvulla 14.

$$x=\frac{15-\sqrt{141}}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{141}+15}{7} x=\frac{15-\sqrt{141}}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 30x molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+2-30x=-10$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$7x^{2}-30x=-10-2$$

Vähennä 2 luvusta -10 saadaksesi tuloksen -12.

$$7x^{2}-30x=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-30x}{7}=-\frac{12}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{30}{7}x=-\frac{12}{7}$$

Jaa -\frac{30}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{7}. Lisää sitten -\frac{15}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{30}{7}x+\left(-\frac{15}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{15}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{30}{7}x+\frac{225}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{225}{49}$$

Lisää -\frac{12}{7} lukuun \frac{225}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{30}{7}x+\frac{225}{49}=\frac{141}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{30}{7}x+\frac{225}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{7}\right)^{2}=\frac{141}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{7}=\frac{\sqrt{141}}{7} x-\frac{15}{7}=-\frac{\sqrt{141}}{7}$$

Lisää \frac{15}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{141}+15}{7} x=\frac{15-\sqrt{141}}{7}$$