Ratkaise 7=15x^2-5x

$$7 = 15 x ^ { 2 } - 5 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6}\approx 0,869834104$$

$$x=-\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6}\approx -0,53650077$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$15x^{2}-5x=7$$

Vähennä 7 molemmilta puolilta.

$$15x^{2}-5x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 15, b luvulla -5 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 15\left(-7\right)}}{2\times 15}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 15\left(-7\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-60\left(-7\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja -7.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+420}}{2\times 15}$$

Lisää 25 lukuun 420.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{445}}{2\times 15}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{445}}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{5±\sqrt{445}}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{445}}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{445}.

$$x=\frac{\sqrt{445}+5}{30}$$

Jaa 5+\sqrt{445} luvulla 30.

$$x=\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{445}}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{445} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{445}}{30}$$

Jaa 5-\sqrt{445} luvulla 30.

$$x=-\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6} x=-\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$15x^{2}-5x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 15.

$$\frac{15x^{2}-5x}{15}=\frac{7}{15}$$

Jakaminen luvulla 15 kumoaa kertomisen luvulla 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{15}\right)x=\frac{7}{15}$$

Supista murtoluku \frac{-5}{15} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{7}{15}$$

Jaa -\frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{6}. Lisää sitten -\frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{15}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{7}{15}+\frac{1}{36}$$

Lisää \frac{7}{15} lukuun \frac{1}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{89}{180}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{89}{180}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{180}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{445}}{30} x-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{445}}{30}$$

Lisää \frac{1}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6} x=-\frac{\sqrt{445}}{30}+\frac{1}{6}$$