Ratkaise 69x-4<2x^2

$$69 x - 4 < 2 x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{4729}+69}{4},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$69x-4-2x^{2}<0$$

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön 69x-4-2x^{2} korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$-69x+4+2x^{2}>0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-69x+4+2x^{2}=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan -69 tilalle b ja muuttujan 4 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{4729}+69}{4} x=\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}\right)\left(x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} ja x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} ja x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}<0 x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} ja x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} ovat molemmat positiivisia.

$$x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$