Ratkaise 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 64, b luvulla 24\sqrt{5} ja c luvulla 33 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Korota 24\sqrt{5} neliöön.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Kerro -4 ja 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Kerro -256 ja 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Lisää 2880 lukuun -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Ota luvun -5568 neliöjuuri.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Kerro 2 ja 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -24\sqrt{5} lukuun 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Jaa -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} luvulla 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{87} luvusta -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Jaa -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} luvulla 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Vähennä 33 yhtälön molemmilta puolilta.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Kun luku 33 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Jaa molemmat puolet luvulla 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Jakaminen luvulla 64 kumoaa kertomisen luvulla 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Jaa 24\sqrt{5} luvulla 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Jaa \frac{3\sqrt{5}}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3\sqrt{5}}{16}. Lisää sitten \frac{3\sqrt{5}}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{3\sqrt{5}}{16} neliöön.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Lisää -\frac{33}{64} lukuun \frac{45}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Jaa x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Vähennä \frac{3\sqrt{5}}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$