Ratkaise 60x^2+588x-169=0

$$60 x ^ { 2 } + 588 x - 169 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}\approx 0,27944656$$

$$x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}\approx -10,07944656$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$60x^{2}+588x-169=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 60, b luvulla 588 ja c luvulla -169 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-588±\sqrt{588^{2}-4\times 60\left(-169\right)}}{2\times 60}$$

Korota 588 neliöön.

$$x=\frac{-588±\sqrt{345744-4\times 60\left(-169\right)}}{2\times 60}$$

Kerro -4 ja 60.

$$x=\frac{-588±\sqrt{345744-240\left(-169\right)}}{2\times 60}$$

Kerro -240 ja -169.

$$x=\frac{-588±\sqrt{345744+40560}}{2\times 60}$$

Lisää 345744 lukuun 40560.

$$x=\frac{-588±\sqrt{386304}}{2\times 60}$$

Ota luvun 386304 neliöjuuri.

$$x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{2\times 60}$$

Kerro 2 ja 60.

$$x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{120}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{120}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -588 lukuun 16\sqrt{1509}.

$$x=\frac{16\sqrt{1509}-588}{120}$$

Jaa -588+16\sqrt{1509} luvulla 120.

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{120}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16\sqrt{1509} luvusta -588.

$$x=\frac{-16\sqrt{1509}-588}{120}$$

Jaa -588-16\sqrt{1509} luvulla 120.

$$x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10} x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$60x^{2}+588x-169=0$$

Lisää 169 yhtälön kummallekin puolelle.

$$60x^{2}+588x-169-\left(-169\right)=-\left(-169\right)$$

Kun luku -169 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$60x^{2}+588x=-\left(-169\right)$$

Vähennä -169 luvusta 0.

$$60x^{2}+588x=169$$

Jaa molemmat puolet luvulla 60.

$$\frac{60x^{2}+588x}{60}=\frac{169}{60}$$

Jakaminen luvulla 60 kumoaa kertomisen luvulla 60.

$$x^{2}+\frac{588}{60}x=\frac{169}{60}$$

Supista murtoluku \frac{588}{60} luvulla 12.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x=\frac{169}{60}$$

Jaa \frac{49}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{49}{10}. Lisää sitten \frac{49}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x+\left(\frac{49}{10}\right)^{2}=\frac{169}{60}+\left(\frac{49}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{49}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x+\frac{2401}{100}=\frac{169}{60}+\frac{2401}{100}$$

Lisää \frac{169}{60} lukuun \frac{2401}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x+\frac{2401}{100}=\frac{2012}{75}$$

Jaa x^{2}+\frac{49}{5}x+\frac{2401}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{49}{10}\right)^{2}=\frac{2012}{75}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2012}{75}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{49}{10}=\frac{2\sqrt{1509}}{15} x+\frac{49}{10}=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}$$

Vähennä \frac{49}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10} x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$