Ratkaise 6y^2+4y-1=0

$$6 y ^ { 2 } + 4 y - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}\approx 0,193712943$$

$$y=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}\approx -0,86037961$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6y^{2}+4y-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Korota 4 neliöön.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -1.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+24}}{2\times 6}$$

Lisää 16 lukuun 24.

$$y=\frac{-4±\sqrt{40}}{2\times 6}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$y=\frac{-4±2\sqrt{10}}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$y=\frac{-4±2\sqrt{10}}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-4±2\sqrt{10}}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{10}.

$$y=\frac{2\sqrt{10}-4}{12}$$

Jaa -4+2\sqrt{10} luvulla 12.

$$y=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-4±2\sqrt{10}}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta -4.

$$y=\frac{-2\sqrt{10}-4}{12}$$

Jaa -4-2\sqrt{10} luvulla 12.

$$y=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3} y=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+4y-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6y^{2}+4y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6y^{2}+4y=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$6y^{2}+4y=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6y^{2}+4y}{6}=\frac{1}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$y^{2}+\frac{4}{6}y=\frac{1}{6}$$

Supista murtoluku \frac{4}{6} luvulla 2.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6}$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$$

Lisää \frac{1}{6} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}=\frac{5}{18}$$

Jaa y^{2}+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{18}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{18}}$$

Sievennä.

$$y+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{6} y+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{6}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3} y=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$