Ratkaise 6y+9y^2-15

$$6 y + 9 y ^ { 2 } - 15$$

Jaa tekijöihin

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 3:n suhteen.

$$3\left(2y+3y^{2}-5\right)$$

Tarkastele lauseketta 2y+3y^{2}-5. Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$3y^{2}+2y-5$$

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 3y^{2}+ay+by-5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -15.

$$-1,15 -3,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 2.

$$a=-3 b=5$$

Kirjoita \left(3y^{2}-3y\right)+\left(5y-5\right) uudelleen muodossa 3y^{2}+2y-5.

$$\left(3y^{2}-3y\right)+\left(5y-5\right)$$

Jaa 3y toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3y\left(y-1\right)+5\left(y-1\right)$$

Jaa yleinen termi y-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$9y^{2}+6y-15=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Korota 6 neliöön.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -15.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+540}}{2\times 9}$$

Lisää 36 lukuun 540.

$$y=\frac{-6±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Ota luvun 576 neliöjuuri.

$$y=\frac{-6±24}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$y=\frac{-6±24}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-6±24}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 24.

$$y=\frac{18}{18}$$

Jaa 18 luvulla 18.

$$y=1$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-6±24}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24 luvusta -6.

$$y=-\frac{30}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{18} luvulla 6.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 1 kohteella x_{1} ja -\frac{5}{3} kohteella x_{2}.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\left(y+\frac{5}{3}\right)$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun y selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\times \frac{3y+5}{3}$$

Supista lausekkeiden 9 ja 3 suurin yhteinen tekijä 3.

$$9y^{2}+6y-15=3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Laske

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$