Ratkaise 6x-10+x-1=3(x-1)(3x-5)

$$6 x - 10 + x - 1 = 3 ( x - 1 ) ( 3 x - 5 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2$$

$$x = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \approx 1,444444444$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 7x yhdistämällä 6x ja x.

$$7x-10-1=3\left(x-1\right)\left(3x-5\right)$$

Vähennä 1 luvusta -10 saadaksesi tuloksen -11.

$$7x-11=3\left(x-1\right)\left(3x-5\right)$$

Laske lukujen 3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$7x-11=\left(3x-3\right)\left(3x-5\right)$$

Laske lukujen 3x-3 ja 3x-5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$7x-11=9x^{2}-24x+15$$

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$7x-11-9x^{2}=-24x+15$$

Lisää 24x molemmille puolille.

$$7x-11-9x^{2}+24x=15$$

Selvitä 31x yhdistämällä 7x ja 24x.

$$31x-11-9x^{2}=15$$

Vähennä 15 molemmilta puolilta.

$$31x-11-9x^{2}-15=0$$

Vähennä 15 luvusta -11 saadaksesi tuloksen -26.

$$31x-26-9x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-9x^{2}+31x-26=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -9, b luvulla 31 ja c luvulla -26 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-9\right)\left(-26\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Korota 31 neliöön.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-9\right)\left(-26\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+36\left(-26\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 36 ja -26.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-936}}{2\left(-9\right)}$$

Lisää 961 lukuun -936.

$$x=\frac{-31±\sqrt{25}}{2\left(-9\right)}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-31±5}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 2 ja -9.

$$x=\frac{-31±5}{-18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-31±5}{-18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -31 lukuun 5.

$$x=-\frac{26}{-18}$$

Supista murtoluku \frac{-26}{-18} luvulla 2.

$$x=\frac{13}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-31±5}{-18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -31.

$$x=-\frac{36}{-18}$$

Jaa -36 luvulla -18.

$$x=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{13}{9} x=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 7x yhdistämällä 6x ja x.

$$7x-10-1=3\left(x-1\right)\left(3x-5\right)$$

Vähennä 1 luvusta -10 saadaksesi tuloksen -11.

$$7x-11=3\left(x-1\right)\left(3x-5\right)$$

Laske lukujen 3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$7x-11=\left(3x-3\right)\left(3x-5\right)$$

Laske lukujen 3x-3 ja 3x-5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$7x-11=9x^{2}-24x+15$$

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$7x-11-9x^{2}=-24x+15$$

Lisää 24x molemmille puolille.

$$7x-11-9x^{2}+24x=15$$

Selvitä 31x yhdistämällä 7x ja 24x.

$$31x-11-9x^{2}=15$$

Lisää 11 molemmille puolille.

$$31x-9x^{2}=15+11$$

Selvitä 26 laskemalla yhteen 15 ja 11.

$$31x-9x^{2}=26$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+31x=26$$

Jaa molemmat puolet luvulla -9.

$$\frac{-9x^{2}+31x}{-9}=\frac{26}{-9}$$

Jakaminen luvulla -9 kumoaa kertomisen luvulla -9.

$$x^{2}+\frac{31}{-9}x=\frac{26}{-9}$$

Jaa 31 luvulla -9.

$$x^{2}-\frac{31}{9}x=\frac{26}{-9}$$

Jaa 26 luvulla -9.

$$x^{2}-\frac{31}{9}x=-\frac{26}{9}$$

Jaa -\frac{31}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{31}{18}. Lisää sitten -\frac{31}{18}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{31}{9}x+\left(-\frac{31}{18}\right)^{2}=-\frac{26}{9}+\left(-\frac{31}{18}\right)^{2}$$

Korota -\frac{31}{18} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{31}{9}x+\frac{961}{324}=-\frac{26}{9}+\frac{961}{324}$$

Lisää -\frac{26}{9} lukuun \frac{961}{324} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{31}{9}x+\frac{961}{324}=\frac{25}{324}$$

Jaa x^{2}-\frac{31}{9}x+\frac{961}{324} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{18}\right)^{2}=\frac{25}{324}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{324}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{31}{18}=\frac{5}{18} x-\frac{31}{18}=-\frac{5}{18}$$

Lisää \frac{31}{18} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=\frac{13}{9}$$