Ratkaise 6x^2-x-2=0

$$6 x ^ { 2 } - x - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=6\left(-2\right)=-12$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-4 b=3$$

Kirjoita \left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right) uudelleen muodossa 6x^{2}-x-2.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 6x^{2}-4x.

$$2x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Jaa yleinen termi 3x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-2=0 ja 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -1 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 6}$$

Lisää 1 lukuun 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 6}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{1±7}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±7}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 7.

$$x=\frac{8}{12}$$

Supista murtoluku \frac{8}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±7}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$6x^{2}-x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{2}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{2}{6} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}$$

Jaa -\frac{1}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{12}. Lisää sitten -\frac{1}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{1}{3}+\frac{1}{144}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{1}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{49}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{7}{12}$$

Lisää \frac{1}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$