Ratkaise 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 15 molemmilta puolilta.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-10 b=9$$

Kirjoita \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right) uudelleen muodossa 6x^{2}-x-15.

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-5=0 ja 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-x=15$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -1 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Lisää 1 lukuun 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Ota luvun 361 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±19}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Supista murtoluku \frac{20}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±19}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 19 luvusta 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Supista murtoluku \frac{15}{6} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Jaa -\frac{1}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{12}. Lisää sitten -\frac{1}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun \frac{1}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Lisää \frac{1}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$