Ratkaise 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-20. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=-8 b=5$$

Kirjoita \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-3x-20.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Jaa yleinen termi x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-4=0 ja 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -9 ja c luvulla -60 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Lisää 81 lukuun 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Ota luvun 1521 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±39}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Jaa 48 luvulla 12.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±39}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 39 luvusta 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Lisää 60 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Kun luku -60 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Vähennä -60 luvusta 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-9}{6} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Jaa 60 luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Lisää 10 lukuun \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$