Ratkaise 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -7.

$$a=-9 b=2$$

Kirjoita \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right) uudelleen muodossa 6x^{2}-7x-3.

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Ota 3x tekijäksi lausekkeessa 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 2x-3=0 ja 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -7 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Lisää 49 lukuun 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±11}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Supista murtoluku \frac{18}{12} luvulla 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±11}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{12} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Supista murtoluku \frac{3}{6} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{7}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{12}. Lisää sitten -\frac{7}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{49}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Lisää \frac{7}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$