Ratkaise 6x^2-3x-45

$$6 x ^ { 2 } - 3 x - 45$$

Jaa tekijöihin

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 3:n suhteen.

$$3\left(2x^{2}-x-15\right)$$

Tarkastele lauseketta 2x^{2}-x-15. Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 2x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -1.

$$a=-6 b=5$$

Kirjoita \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-x-15.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$6x^{2}-3x-45=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -45.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+1080}}{2\times 6}$$

Lisää 9 lukuun 1080.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

Ota luvun 1089 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±33}{2\times 6}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±33}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{3±33}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±33}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 33.

$$x=\frac{36}{12}$$

Jaa 36 luvulla 12.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±33}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 33 luvusta 3.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 3 kohteella x_{1} ja -\frac{5}{2} kohteella x_{2}.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

Supista lausekkeiden 6 ja 2 suurin yhteinen tekijä 2.

$$6x^{2}-3x-45=3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Laske

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$