Ratkaise 6x^2-13x+39=0

$$6 x ^ { 2 } - 13 x + 39 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{13+\sqrt{767}i}{12}\approx 1,083333333+2,307897071i$$

$$x=\frac{-\sqrt{767}i+13}{12}\approx 1,083333333-2,307897071i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-13x+39=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -13 ja c luvulla 39 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\times 39}}{2\times 6}$$

Korota -13 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 6\times 39}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-24\times 39}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 39.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-936}}{2\times 6}$$

Lisää 169 lukuun -936.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-767}}{2\times 6}$$

Ota luvun -767 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{767}i}{2\times 6}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{767}i}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{13±\sqrt{767}i}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±\sqrt{767}i}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun i\sqrt{767}.

$$x=\frac{13+\sqrt{767}i}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±\sqrt{767}i}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{767} luvusta 13.

$$x=\frac{-\sqrt{767}i+13}{12}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{13+\sqrt{767}i}{12} x=\frac{-\sqrt{767}i+13}{12}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-13x+39=0$$

Vähennä 39 yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x^{2}-13x+39-39=-39$$

Kun luku 39 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-13x=-39$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-13x}{6}=-\frac{39}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{39}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-39}{6} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{13}{2}$$

Jaa -\frac{13}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{12}. Lisää sitten -\frac{13}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{13}{2}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=-\frac{13}{2}+\frac{169}{144}$$

Lisää -\frac{13}{2} lukuun \frac{169}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=-\frac{767}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{767}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{767}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{\sqrt{767}i}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{\sqrt{767}i}{12}$$

Lisää \frac{13}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{13+\sqrt{767}i}{12} x=\frac{-\sqrt{767}i+13}{12}$$