Ratkaise 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 6 tilalle a, muuttujan -12 tilalle b ja muuttujan 3 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

Jotta tulo on ≥0, arvojen x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ja x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) on molempien oltava ≤0 tai ≥0. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ja x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ovat molemmat ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ja x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ovat molemmat ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$