Ratkaise 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=3 b=4$$

Kirjoita \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+7x+2.

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 2x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x+1=0 ja 3x+2=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 7 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Lisää 49 lukuun -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±1}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±1}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -7.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{12} luvulla 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+7x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{6} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Jaa \frac{7}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{12}. Lisää sitten \frac{7}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun \frac{49}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Vähennä \frac{7}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$