Ratkaise 6x^2+5/3x-21=0

$$6 x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 3 } x - 21 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{4561} - 5}{36} \approx 1,737088223$$

$$x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}\approx -2,014866001$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x-21=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla \frac{5}{3} ja c luvulla -21 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-4\times 6\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

Korota \frac{5}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{25}{9}-4\times 6\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{25}{9}-24\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -21.

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{25}{9}+504}}{2\times 6}$$

Lisää \frac{25}{9} lukuun 504.

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{4561}{9}}}{2\times 6}$$

Ota luvun \frac{4561}{9} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{5}{3} lukuun \frac{\sqrt{4561}}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{3\times 12}$$

Jaa \frac{-5+\sqrt{4561}}{3} luvulla 12.

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{36}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{4561}}{3} luvusta -\frac{5}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{3\times 12}$$

Jaa \frac{-5-\sqrt{4561}}{3} luvulla 12.

$$x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{36} x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x-21=0$$

Lisää 21 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Kun luku -21 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x=-\left(-21\right)$$

Vähennä -21 luvusta 0.

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x=21$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+\frac{5}{3}x}{6}=\frac{21}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{\frac{5}{3}}{6}x=\frac{21}{6}$$

Jaa \frac{5}{3} luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{5}{18}x=\frac{21}{6}$$

Supista murtoluku \frac{21}{6} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{18}x=\frac{7}{2}$$

Jaa \frac{5}{18} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{36}. Lisää sitten \frac{5}{36}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{18}x+\left(\frac{5}{36}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{36}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{36} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{18}x+\frac{25}{1296}=\frac{7}{2}+\frac{25}{1296}$$

Lisää \frac{7}{2} lukuun \frac{25}{1296} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{18}x+\frac{25}{1296}=\frac{4561}{1296}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{18}x+\frac{25}{1296} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{36}\right)^{2}=\frac{4561}{1296}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{36}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4561}{1296}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{36}=\frac{\sqrt{4561}}{36} x+\frac{5}{36}=-\frac{\sqrt{4561}}{36}$$

Vähennä \frac{5}{36} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{36} x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}$$