Ratkaise 6x^2-5x-12=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-12 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{313} + 5}{12} \approx 1,890983834$$

$$x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}\approx -1,057650501$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-5x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -5 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+288}}{2\times 6}$$

Lisää 25 lukuun 288.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{313}}{2\times 6}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{313}}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{5±\sqrt{313}}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{313}}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{313}.

$$x=\frac{\sqrt{313}+5}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{313}}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{313} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{313}+5}{12} x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-12=0$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}-5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 0.

$$6x^{2}-5x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{12}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{12}{6}$$

Jaa 12 luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=2$$

Jaa -\frac{5}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{12}. Lisää sitten -\frac{5}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=2+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=2+\frac{25}{144}$$

Lisää 2 lukuun \frac{25}{144}.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{313}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{313}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{313}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{\sqrt{313}}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{\sqrt{313}}{12}$$

Lisää \frac{5}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{313}+5}{12} x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}$$