Ratkaise 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -6.

$$1,-6 2,-3$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-6 b=1$$

Kirjoita \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right) uudelleen muodossa 6x^{2}-5x-1.

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Ota 6x tekijäksi lausekkeessa 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -5 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Lisää 25 lukuun 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±7}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Jaa 12 luvulla 12.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±7}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{12} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Jaa -\frac{5}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{12}. Lisää sitten -\frac{5}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Lisää \frac{1}{6} lukuun \frac{25}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Lisää \frac{5}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$