Ratkaise 6x^2-1x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } -1x-10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{241} + 1}{12} \approx 1,377014558$$

$$x=\frac{1-\sqrt{241}}{12}\approx -1,210347891$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -1 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+240}}{2\times 6}$$

Lisää 1 lukuun 240.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{241}}{2\times 6}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{241}}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{1±\sqrt{241}}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{241}}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{241}.

$$x=\frac{\sqrt{241}+1}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{241}}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{241} luvusta 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{241}}{12}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{241}+1}{12} x=\frac{1-\sqrt{241}}{12}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}-x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}-x=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$6x^{2}-x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{10}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{10}{6} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{3}$$

Jaa -\frac{1}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{12}. Lisää sitten -\frac{1}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{3}+\frac{1}{144}$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun \frac{1}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{241}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{241}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{241}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{241}}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{241}}{12}$$

Lisää \frac{1}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{241}+1}{12} x=\frac{1-\sqrt{241}}{12}$$