Ratkaise 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 7.

$$a=-3 b=10$$

Kirjoita \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+7x-5.

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Ota 3x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 2x-1=0 ja 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 7 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Lisää 49 lukuun 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±13}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Supista murtoluku \frac{6}{12} luvulla 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±13}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{12} luvulla 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Jaa \frac{7}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{12}. Lisää sitten \frac{7}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Lisää \frac{5}{6} lukuun \frac{49}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Vähennä \frac{7}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$