Ratkaise 6x^2+5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx+1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 6.

$$1,6 2,3$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+6=7 2+3=5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=2 b=3$$

Kirjoita \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+5x+1.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 6x^{2}+2x.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Jaa yleinen termi 3x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x+1=0 ja 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 5 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Lisää 25 lukuun -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±1}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{12} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±1}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -5.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+5x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Jaa \frac{5}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{12}. Lisää sitten \frac{5}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Lisää -\frac{1}{6} lukuun \frac{25}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Vähennä \frac{5}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$