Ratkaise 6x^2+4x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } +4x-10=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -15.

$$-1,15 -3,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 2.

$$a=-3 b=5$$

Kirjoita \left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+2x-5.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+4x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 4 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -10.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 6}$$

Lisää 16 lukuun 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 6}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-4±16}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 16.

$$x=\frac{12}{12}$$

Jaa 12 luvulla 12.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta -4.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{12} luvulla 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+4x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+4x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+4x=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$6x^{2}+4x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+4x}{6}=\frac{10}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{4}{6}x=\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{4}{6} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{10}{6} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$