Ratkaise 6x^2+17x+5=0

$$6 { x }^{ 2 } +17x+5=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx+5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=17 ab=6\times 5=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 17.

$$a=2 b=15$$

Kirjoita \left(6x^{2}+2x\right)+\left(15x+5\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+17x+5.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(15x+5\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$2x\left(3x+1\right)+5\left(3x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x+1=0 ja 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+17x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 17 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Korota 17 neliöön.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 5.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

Lisää 289 lukuun -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-17±13}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±13}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -17 lukuun 13.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{12} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±13}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -17.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+17x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+17x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+17x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+17x}{6}=-\frac{5}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{5}{6}$$

Jaa \frac{17}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{17}{12}. Lisää sitten \frac{17}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{6}+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{17}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=-\frac{5}{6}+\frac{289}{144}$$

Lisää -\frac{5}{6} lukuun \frac{289}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=\frac{169}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{17}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{17}{12}=-\frac{13}{12}$$

Vähennä \frac{17}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$