Ratkaise 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx+3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 11.

$$a=2 b=9$$

Kirjoita \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+11x+3.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x+1=0 ja 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 11 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Lisää 121 lukuun -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±7}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{12} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±7}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-3}{6} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Jaa \frac{11}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{12}. Lisää sitten \frac{11}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{121}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Vähennä \frac{11}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$