Ratkaise 5x*10-9xdiv2x=99

$$5x \times 10-9x \div 2x=99$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{718} + 50}{9} \approx 8,532835779$$

$$x = \frac{50 - \sqrt{718}}{9} \approx 2,578275332$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$10x\times 10-9xx=198$$

Kerro 10 ja 10, niin saadaan 100.

$$100x-9xx=198$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$100x-9x^{2}=198$$

Vähennä 198 molemmilta puolilta.

$$100x-9x^{2}-198=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-9x^{2}+100x-198=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -9, b luvulla 100 ja c luvulla -198 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-9\right)\left(-198\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Korota 100 neliöön.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-9\right)\left(-198\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+36\left(-198\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 36 ja -198.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-7128}}{2\left(-9\right)}$$

Lisää 10000 lukuun -7128.

$$x=\frac{-100±\sqrt{2872}}{2\left(-9\right)}$$

Ota luvun 2872 neliöjuuri.

$$x=\frac{-100±2\sqrt{718}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 2 ja -9.

$$x=\frac{-100±2\sqrt{718}}{-18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-100±2\sqrt{718}}{-18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -100 lukuun 2\sqrt{718}.

$$x=\frac{2\sqrt{718}-100}{-18}$$

Jaa -100+2\sqrt{718} luvulla -18.

$$x=\frac{50-\sqrt{718}}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-100±2\sqrt{718}}{-18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{718} luvusta -100.

$$x=\frac{-2\sqrt{718}-100}{-18}$$

Jaa -100-2\sqrt{718} luvulla -18.

$$x=\frac{\sqrt{718}+50}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{50-\sqrt{718}}{9} x=\frac{\sqrt{718}+50}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$10x\times 10-9xx=198$$

Kerro 10 ja 10, niin saadaan 100.

$$100x-9xx=198$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$100x-9x^{2}=198$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+100x=198$$

Jaa molemmat puolet luvulla -9.

$$\frac{-9x^{2}+100x}{-9}=\frac{198}{-9}$$

Jakaminen luvulla -9 kumoaa kertomisen luvulla -9.

$$x^{2}+\frac{100}{-9}x=\frac{198}{-9}$$

Jaa 100 luvulla -9.

$$x^{2}-\frac{100}{9}x=\frac{198}{-9}$$

Jaa 198 luvulla -9.

$$x^{2}-\frac{100}{9}x=-22$$

Jaa -\frac{100}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{50}{9}. Lisää sitten -\frac{50}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{100}{9}x+\left(-\frac{50}{9}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{50}{9}\right)^{2}$$

Korota -\frac{50}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{100}{9}x+\frac{2500}{81}=-22+\frac{2500}{81}$$

Lisää -22 lukuun \frac{2500}{81}.

$$x^{2}-\frac{100}{9}x+\frac{2500}{81}=\frac{718}{81}$$

Jaa x^{2}-\frac{100}{9}x+\frac{2500}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{50}{9}\right)^{2}=\frac{718}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{50}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{718}{81}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{50}{9}=\frac{\sqrt{718}}{9} x-\frac{50}{9}=-\frac{\sqrt{718}}{9}$$

Lisää \frac{50}{9} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{718}+50}{9} x=\frac{50-\sqrt{718}}{9}$$