Ratkaise 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 56, b luvulla -12 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Kerro -4 ja 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Lisää 144 lukuun -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Ota luvun -80 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Kerro 2 ja 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

Jaa 12+4i\sqrt{5} luvulla 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{5} luvusta 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

Jaa 12-4i\sqrt{5} luvulla 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Jakaminen luvulla 56 kumoaa kertomisen luvulla 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{56} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Jaa -\frac{3}{14} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{28}. Lisää sitten -\frac{3}{28}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{28} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

Lisää -\frac{1}{56} lukuun \frac{9}{784} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Lisää \frac{3}{28} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$