Ratkaise 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 1+x ja 1+x, niin saadaan \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Laske lukujen 54 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Vähennä 1215 molemmilta puolilta.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Vähennä 1215 luvusta 54 saadaksesi tuloksen -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 54, b luvulla 108 ja c luvulla -1161 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Korota 108 neliöön.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Kerro -4 ja 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Kerro -216 ja -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Lisää 11664 lukuun 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Ota luvun 262440 neliöjuuri.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Kerro 2 ja 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -108 lukuun 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Jaa -108+162\sqrt{10} luvulla 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 162\sqrt{10} luvusta -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Jaa -108-162\sqrt{10} luvulla 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 1+x ja 1+x, niin saadaan \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Laske lukujen 54 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Vähennä 54 molemmilta puolilta.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Vähennä 54 luvusta 1215 saadaksesi tuloksen 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Jaa molemmat puolet luvulla 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Jakaminen luvulla 54 kumoaa kertomisen luvulla 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Jaa 108 luvulla 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Supista murtoluku \frac{1161}{54} luvulla 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Lisää \frac{43}{2} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$