Ratkaise 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 53 tilalle a, muuttujan 5 tilalle b ja muuttujan -12 tilalle c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} ja x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} on positiivinen ja x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} on negatiivinen.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} on positiivinen ja x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} on negatiivinen.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$