Ratkaise 500=60x-x^2

$$500=60x- { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=10$$

$$x=50$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$60x-x^{2}=500$$

Vähennä 500 molemmilta puolilta.

$$60x-x^{2}-500=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+60x-500=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-500. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=60 ab=-\left(-500\right)=500$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 500.

$$1,500 2,250 4,125 5,100 10,50 20,25$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+500=501 2+250=252 4+125=129 5+100=105 10+50=60 20+25=45$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 60.

$$a=50 b=10$$

Kirjoita \left(-x^{2}+50x\right)+\left(10x-500\right) uudelleen muodossa -x^{2}+60x-500.

$$\left(-x^{2}+50x\right)+\left(10x-500\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 10.

$$-x\left(x-50\right)+10\left(x-50\right)$$

Jaa yleinen termi x-50 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-50\right)\left(-x+10\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-50=0 ja -x+10=0.

$$x=50 x=10$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$60x-x^{2}=500$$

Vähennä 500 molemmilta puolilta.

$$60x-x^{2}-500=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+60x-500=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 60 ja c luvulla -500 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-1\right)\left(-500\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 60 neliöön.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-1\right)\left(-500\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+4\left(-500\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -500.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-2000}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 3600 lukuun -2000.

$$x=\frac{-60±\sqrt{1600}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 1600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-60±40}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-60±40}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-60±40}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -60 lukuun 40.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Jaa -20 luvulla -2.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-60±40}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40 luvusta -60.

$$x=-\frac{100}{-2}$$

Jaa -100 luvulla -2.

$$x=50$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=50$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$60x-x^{2}=500$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+60x=500$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+60x}{-1}=\frac{500}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{60}{-1}x=\frac{500}{-1}$$

Jaa 60 luvulla -1.

$$x^{2}-60x=\frac{500}{-1}$$

Jaa 500 luvulla -1.

$$x^{2}-60x=-500$$

Jaa -60 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -30. Lisää sitten -30:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-60x+\left(-30\right)^{2}=-500+\left(-30\right)^{2}$$

Korota -30 neliöön.

$$x^{2}-60x+900=-500+900$$

Lisää -500 lukuun 900.

$$x^{2}-60x+900=400$$

Jaa x^{2}-60x+900 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-30\right)^{2}=400$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-30\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Sievennä.

$$x-30=20 x-30=-20$$

Lisää 30 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=50 x=10$$