Ratkaise 50(1-10%)(1+x)^2=668

$$50 ( 1 - 10 \% ) ( 1 + x ) ^ { 2 } = 668$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1\approx 2,852848874$$

$$x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1\approx -4,852848874$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Supista murtoluku \frac{10}{100} luvulla 10.

$$50\left(1-\frac{1}{10}\right)\left(1+x\right)^{2}=668$$

Vähennä \frac{1}{10} luvusta 1 saadaksesi tuloksen \frac{9}{10}.

$$50\times \frac{9}{10}\left(1+x\right)^{2}=668$$

Kerro 50 ja \frac{9}{10}, niin saadaan 45.

$$45\left(1+x\right)^{2}=668$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$45\left(1+2x+x^{2}\right)=668$$

Laske lukujen 45 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$45+90x+45x^{2}=668$$

Vähennä 668 molemmilta puolilta.

$$45+90x+45x^{2}-668=0$$

Vähennä 668 luvusta 45 saadaksesi tuloksen -623.

$$-623+90x+45x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$45x^{2}+90x-623=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 45, b luvulla 90 ja c luvulla -623 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 45\left(-623\right)}}{2\times 45}$$

Korota 90 neliöön.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 45\left(-623\right)}}{2\times 45}$$

Kerro -4 ja 45.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-180\left(-623\right)}}{2\times 45}$$

Kerro -180 ja -623.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+112140}}{2\times 45}$$

Lisää 8100 lukuun 112140.

$$x=\frac{-90±\sqrt{120240}}{2\times 45}$$

Ota luvun 120240 neliöjuuri.

$$x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{2\times 45}$$

Kerro 2 ja 45.

$$x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{90}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{90}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -90 lukuun 12\sqrt{835}.

$$x=\frac{12\sqrt{835}-90}{90}$$

Jaa -90+12\sqrt{835} luvulla 90.

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{90}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12\sqrt{835} luvusta -90.

$$x=\frac{-12\sqrt{835}-90}{90}$$

Jaa -90-12\sqrt{835} luvulla 90.

$$x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1 x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Supista murtoluku \frac{10}{100} luvulla 10.

$$50\left(1-\frac{1}{10}\right)\left(1+x\right)^{2}=668$$

Vähennä \frac{1}{10} luvusta 1 saadaksesi tuloksen \frac{9}{10}.

$$50\times \frac{9}{10}\left(1+x\right)^{2}=668$$

Kerro 50 ja \frac{9}{10}, niin saadaan 45.

$$45\left(1+x\right)^{2}=668$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$45\left(1+2x+x^{2}\right)=668$$

Laske lukujen 45 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$45+90x+45x^{2}=668$$

Vähennä 45 molemmilta puolilta.

$$90x+45x^{2}=668-45$$

Vähennä 45 luvusta 668 saadaksesi tuloksen 623.

$$90x+45x^{2}=623$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$45x^{2}+90x=623$$

Jaa molemmat puolet luvulla 45.

$$\frac{45x^{2}+90x}{45}=\frac{623}{45}$$

Jakaminen luvulla 45 kumoaa kertomisen luvulla 45.

$$x^{2}+\frac{90}{45}x=\frac{623}{45}$$

Jaa 90 luvulla 45.

$$x^{2}+2x=\frac{623}{45}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{623}{45}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=\frac{623}{45}+1$$

Lisää \frac{623}{45} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{668}{45}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{668}{45}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{668}{45}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{2\sqrt{835}}{15} x+1=-\frac{2\sqrt{835}}{15}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1 x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$