Ratkaise 50(1-10%)(1+x)^2=148

$$50 ( 1 - 10 \% ) ( 1 + x ) ^ { 2 } = 148$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2\sqrt{185}}{15}-1\approx 0,813529401$$

$$x=-\frac{2\sqrt{185}}{15}-1\approx -2,813529401$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Supista murtoluku \frac{10}{100} luvulla 10.

$$50\left(1-\frac{1}{10}\right)\left(1+x\right)^{2}=148$$

Vähennä \frac{1}{10} luvusta 1 saadaksesi tuloksen \frac{9}{10}.

$$50\times \frac{9}{10}\left(1+x\right)^{2}=148$$

Kerro 50 ja \frac{9}{10}, niin saadaan 45.

$$45\left(1+x\right)^{2}=148$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$45\left(1+2x+x^{2}\right)=148$$

Laske lukujen 45 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$45+90x+45x^{2}=148$$

Vähennä 148 molemmilta puolilta.

$$45+90x+45x^{2}-148=0$$

Vähennä 148 luvusta 45 saadaksesi tuloksen -103.

$$-103+90x+45x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$45x^{2}+90x-103=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 45, b luvulla 90 ja c luvulla -103 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 45\left(-103\right)}}{2\times 45}$$

Korota 90 neliöön.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 45\left(-103\right)}}{2\times 45}$$

Kerro -4 ja 45.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-180\left(-103\right)}}{2\times 45}$$

Kerro -180 ja -103.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+18540}}{2\times 45}$$

Lisää 8100 lukuun 18540.

$$x=\frac{-90±\sqrt{26640}}{2\times 45}$$

Ota luvun 26640 neliöjuuri.

$$x=\frac{-90±12\sqrt{185}}{2\times 45}$$

Kerro 2 ja 45.

$$x=\frac{-90±12\sqrt{185}}{90}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±12\sqrt{185}}{90}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -90 lukuun 12\sqrt{185}.

$$x=\frac{12\sqrt{185}-90}{90}$$

Jaa -90+12\sqrt{185} luvulla 90.

$$x=\frac{2\sqrt{185}}{15}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±12\sqrt{185}}{90}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12\sqrt{185} luvusta -90.

$$x=\frac{-12\sqrt{185}-90}{90}$$

Jaa -90-12\sqrt{185} luvulla 90.

$$x=-\frac{2\sqrt{185}}{15}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{185}}{15}-1 x=-\frac{2\sqrt{185}}{15}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Supista murtoluku \frac{10}{100} luvulla 10.

$$50\left(1-\frac{1}{10}\right)\left(1+x\right)^{2}=148$$

Vähennä \frac{1}{10} luvusta 1 saadaksesi tuloksen \frac{9}{10}.

$$50\times \frac{9}{10}\left(1+x\right)^{2}=148$$

Kerro 50 ja \frac{9}{10}, niin saadaan 45.

$$45\left(1+x\right)^{2}=148$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$45\left(1+2x+x^{2}\right)=148$$

Laske lukujen 45 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$45+90x+45x^{2}=148$$

Vähennä 45 molemmilta puolilta.

$$90x+45x^{2}=148-45$$

Vähennä 45 luvusta 148 saadaksesi tuloksen 103.

$$90x+45x^{2}=103$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$45x^{2}+90x=103$$

Jaa molemmat puolet luvulla 45.

$$\frac{45x^{2}+90x}{45}=\frac{103}{45}$$

Jakaminen luvulla 45 kumoaa kertomisen luvulla 45.

$$x^{2}+\frac{90}{45}x=\frac{103}{45}$$

Jaa 90 luvulla 45.

$$x^{2}+2x=\frac{103}{45}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{103}{45}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=\frac{103}{45}+1$$

Lisää \frac{103}{45} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{148}{45}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{148}{45}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{148}{45}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{2\sqrt{185}}{15} x+1=-\frac{2\sqrt{185}}{15}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{185}}{15}-1 x=-\frac{2\sqrt{185}}{15}-1$$