Ratkaise 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Vähennä 12 luvusta 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -19 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Jaa -3+i\sqrt{19} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{19} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Jaa -3-i\sqrt{19} luvulla -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Vähennä 5 luvusta 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Jaa 7 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Lisää -7 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$