Ratkaise 5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0,236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1,449117005$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 5y^{2} yhdistämällä 9y^{2} ja -4y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Laske lukujen 6 ja 5y+9 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Laske lukujen 30y+54 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Selvitä 35y^{2} yhdistämällä 5y^{2} ja 30y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Selvitä 59y yhdistämällä 5y ja 54y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Lisää 12 molemmille puolille.

$$59y+35y^{2}+12=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$35y^{2}+59y+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 35, b luvulla 59 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Korota 59 neliöön.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Kerro -4 ja 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

Kerro -140 ja 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

Lisää 3481 lukuun -1680.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

Kerro 2 ja 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -59 lukuun \sqrt{1801}.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{1801} luvusta -59.

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 5y^{2} yhdistämällä 9y^{2} ja -4y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Laske lukujen 6 ja 5y+9 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Laske lukujen 30y+54 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Selvitä 35y^{2} yhdistämällä 5y^{2} ja 30y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Selvitä 59y yhdistämällä 5y ja 54y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$35y^{2}+59y=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 35.

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

Jakaminen luvulla 35 kumoaa kertomisen luvulla 35.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

Jaa \frac{59}{35} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{59}{70}. Lisää sitten \frac{59}{70}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

Korota \frac{59}{70} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

Lisää -\frac{12}{35} lukuun \frac{3481}{4900} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

Jaa y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

Sievennä.

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

Vähennä \frac{59}{70} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$