Ratkaise 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=1$$

$$y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$5x-2y=1$$

Lisää 2y yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x=2y+1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Kerro \frac{1}{5} ja 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Korvaa x arvolla \frac{2y+1}{5} toisessa yhtälössä, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Kerro 3 ja \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Lisää \frac{6y}{5} lukuun 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Vähennä \frac{3}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{31}{5}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Kerro \frac{2}{5} ja 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Lisää \frac{1}{5} lukuun \frac{4}{5} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=1,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=1,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Jos haluat saada luvut 5x ja 3x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Sievennä.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Vähennä 15x+25y=65 lausekkeesta 15x-6y=3 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Lisää 15x lukuun -15x. Termit 15x ja -15x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-6y-25y=3-65$$

Lisää -6y lukuun -25y.

$$-31y=3-65$$

Lisää 3 lukuun -65.

$$-31y=-62$$

Jaa molemmat puolet luvulla -31.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä 3x+5y=13. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$3x+5\times 2=13$$

Kerro 5 ja 2.

$$3x+10=13$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=1,y=2$$