Ratkaise 5x(x+6)=-50

$$5 x ( x + 6 ) = - 50$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-3+i$$

$$x=-3-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 5x ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x^{2}+30x=-50$$

Lisää 50 molemmille puolille.

$$5x^{2}+30x+50=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 30 ja c luvulla 50 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 5\times 50}}{2\times 5}$$

Korota 30 neliöön.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 5\times 50}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-20\times 50}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 50.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-1000}}{2\times 5}$$

Lisää 900 lukuun -1000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Ota luvun -100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-30±10i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-30±10i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±10i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -30 lukuun 10i.

$$x=\frac{-30+10i}{10}$$

Jaa -30+10i luvulla 10.

$$x=-3+i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±10i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10i luvusta -30.

$$x=\frac{-30-10i}{10}$$

Jaa -30-10i luvulla 10.

$$x=-3-i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-3+i x=-3-i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 5x ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x^{2}+30x=-50$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+30x}{5}=-\frac{50}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{30}{5}x=-\frac{50}{5}$$

Jaa 30 luvulla 5.

$$x^{2}+6x=-\frac{50}{5}$$

Jaa -50 luvulla 5.

$$x^{2}+6x=-10$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-10+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=-10+9$$

Lisää -10 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=-1$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sievennä.

$$x+3=i x+3=-i$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-3+i x=-3-i$$