Ratkaise 5x^2-9x+8=0

$$5 x ^ { 2 } - 9 x + 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{79}i}{10}\approx 0,9+0,888819442i$$

$$x=\frac{-\sqrt{79}i+9}{10}\approx 0,9-0,888819442i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-9x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -9 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\times 8}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-160}}{2\times 5}$$

Lisää 81 lukuun -160.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-79}}{2\times 5}$$

Ota luvun -79 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{79}i}{2\times 5}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{79}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{9±\sqrt{79}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{79}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun i\sqrt{79}.

$$x=\frac{9+\sqrt{79}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{79}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{79} luvusta 9.

$$x=\frac{-\sqrt{79}i+9}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9+\sqrt{79}i}{10} x=\frac{-\sqrt{79}i+9}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-9x+8=0$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-9x+8-8=-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-9x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-9x}{5}=-\frac{8}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Jaa -\frac{9}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{10}. Lisää sitten -\frac{9}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{8}{5}+\frac{81}{100}$$

Lisää -\frac{8}{5} lukuun \frac{81}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{79}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{79}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{79}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{79}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{79}i}{10}$$

Lisää \frac{9}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9+\sqrt{79}i}{10} x=\frac{-\sqrt{79}i+9}{10}$$